А если от "борща", то проблема, поставленная тобой, исчезает?
Я не ставил проблему. Я её вообще в упор не вижу, потому что чредование гласных - вполне распространенное явление.
В телепередаче Дом-2 вообще ввели в лексикон оборот "это ты уже борщишь (или барщишь, не знаю)".
А что касается этимологии глагола "перебарщивать", то ряд источников указывают на его происхождение, достаточно просто набрать такой запрос в поисковой системе.
Но это и не борщ, и не барин.